キュウリの茎が急に萎れてしまった場合、他に目立った症状がなければ根の障害の可能性が高いです。

センチュウ類やネキリムシなどの害虫による被害、水分過多による根腐れなどが考えられます。

軽く根元を掘り起こし、土・根の状態を確認してください。

根にコブのようなものがついていればネコブセンチュウです。
コブを除去し植え替えれば復活も可能ですが、茎や蔓が生育してしまったキュウリではそれも困難でしょう。
諦めて抜いてしまったほうが、ネコブセンチュウの繁殖も抑えられます。

土の中にいるセンチュウ類やネキリムシは見つけ次第捕殺します。

根腐れを起こしていた場合は、潔く抜いてしまうことをおすすめします。
程度が軽ければ、根の腐っている部分を全て除去し、葉や茎の数を減らします。
根からの給水ができない状態なので、こうすることで水分発散を少なくすることができます。
きちんと根が張るまで時間が掛かるのと、収穫期間との兼ね合いもあるので、あまり期待はしないほうがよいです。