ズッキーニの実が大きくならない原因は、以下のようなことが挙げられます。

・成長が忙しく、実を付けている余裕がない
・水や肥料が不足している
・根の成長不良
・受粉が上手くいっていない

以上に該当する項目はありませんか？
それぞれの対策方法については、以下よりご確認ください。

まず、成長が忙しく実をつける余裕がない場合。
木が成長している段階では、そっちに水分・養分がもっていかれ、実がついても大きくなりません。
単純に時期が早いということなので、木が十分に成長するまで待ちましょう。

水分・養分が不足している場合も実は大きくならず、途中で黄変したり枯れてしまったりして失敗してしまいます。
ズッキーニは水分・養分の吸収が早いので、マルチや敷きワラなどをし、十分に水分・養分を与えて栽培するとよいでしょう。
もちろん、過度な水遣り・追肥はＮＧなのでご注意ください。

鉢植えなどで栽培している場合は、根の成長不良の可能性もあります。
ズッキーニは意外に広範囲に根を張る野菜です。
根の成長が不十分だと、土の中から栄養・水分を吸い上げることができません。
十分に畝幅を取って栽培しましょう。

最後に、受粉が上手くいっていない場合。
ズッキーニは受粉してから大きく成長します。
受粉しなかったズッキーニは、開花後も小さいままです。
早朝に花が開くので、雄花を切り取り、雌花に受粉してあげると確実です。